В цилиндре проведена плоскость, параллельная его оси, которая отсекает от окружности основания дугу

Ответы на вопрос

Отвечает Чепкасов Юрий.

Давайте разберём задачу шаг за шагом. У нас есть цилиндр, в котором проведена плоскость, параллельная оси цилиндра, и эта плоскость отрезает дугу длины $2a$ на основании. Также известно, что диагональ полученного сечения составляет угол $\gamma$ с осью цилиндра и находится на расстоянии $D$ от оси. Нужно найти объём цилиндра.

1. Анализ задачи

Пусть цилиндр имеет:

радиус основания $R$ ,
высоту $H$ .

Плоскость, проведённая параллельно оси, пересекает цилиндр, и в основании отсекает дугу длины $2a$ . На основании окружности длина дуги связана с центральным углом $\theta$ :

2a = R \theta \quad \Rightarrow \quad \theta = \frac{2a}{R}.

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси, является прямоугольником с закруглённой верхней/нижней частью, но если смотреть на диагональ этого сечения, её можно рассматривать как отрезок, соединяющий точки на окружности.

2. Геометрия сечения

Диагональ сечения $d$ делает угол $\gamma$ с осью цилиндра (ось вертикальная). Если проекция диагонали на горизонтальную плоскость (плоскость основания) — хорда длины $L$ , а вертикальная проекция — $H$ , то:

\tan\gamma = \frac{H}{L}.

Горизонтальная длина хорды $L$ через радиус и дугу:

L = 2 \sqrt{R^2 - D^2},

где $D$ — расстояние от оси до диагонали (по условию).

Тогда:

\tan \gamma = \frac{H}{2\sqrt{R^2 - D^2}} \quad \Rightarrow \quad H = 2 \sqrt{R^2 - D^2} \tan\gamma.

3. Связь дуги с радиусом

Длина дуги $2a$ связана с центральным углом $\theta$ , а хорда, отсекающая эту дугу, связана с радиусом:

\text{хорда } = 2 \sqrt{R^2 - D^2}.

С другой стороны, если дуга $2a$ отсечена на основании, расстояние $D$ от оси до диагонали задаёт хорду через теорему Пифагора:

D = R \cos \frac{a}{R}.

Или иначе: если дуга длины $2a$ , то её хорда равна:

L = 2 R \sin \frac{a}{R}.

Сравнивая с предыдущим выражением хорды через $D$ :

2 \sqrt{R^2 - D^2} = 2 R \sin \frac{a}{R} \quad \Rightarrow \quad \sqrt{R^2 - D^2} = R \sin \frac{a}{R}.

Отсюда получаем радиус цилиндра:

R = \frac{D}{\cos \frac{a}{R}}.

Для маленьких углов (или в задаче часто предполагается): $\cos \frac{a}{R} \approx D / R$ .

4. Высота цилиндра

Из шага 2:

H = 2 \sqrt{R^2 - D^2} \tan\gamma = 2 R \sin \frac{a}{R} \tan \gamma.

5. Объём цилиндра

Объём цилиндра $V$ равен:

V = \pi R^2 H = \pi R^2 \cdot 2 R \sin \frac{a}{R} \tan \gamma = 2 \pi R^3 \sin \frac{a}{R} \tan \gamma.

Если выразить $R$ через $D$ через хорду и центральный угол, получаем окончательную формулу:

V = 2 \pi D^3 \frac{\tan \gamma}{\cos^3 (a / R)} \sin \frac{a}{R}.

Ответы на вопрос

1. Анализ задачи

2. Геометрия сечения

3. Связь дуги с радиусом

4. Высота цилиндра

5. Объём цилиндра

Похожие вопросы

Топ вопросов за вчера в категории Геометрия

Последние заданные вопросы в категории Геометрия