В цилиндре проведена плоскость, параллельная оси и отсекающая от окружности основания дугу в 90 градусов. Диагональ сечения равна 10 см и удалена от оси на 4 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Для решения задачи рассмотрим цилиндр с радиусом основания $R$, высотой $h$, и сечением, которое проведено плоскостью, параллельной оси цилиндра и отсекает дугу в 90 градусов.

1. Математическое описание сечения:
   Сечение цилиндра, проведенное плоскостью, параллельной оси, — это прямоугольный прямой трапецоид, который образуется при отсечении части окружности на 90 градусов. Диагональ этого сечения равна 10 см, а расстояние от оси цилиндра до сечения равно 4 см.

2. Вычисление радиуса основания цилиндра:
   У нас есть диагональ сечения $d = 10$ см. Это диагональ прямоугольного треугольника, где катеты — это радиус основания цилиндра $R$ и расстояние от оси цилиндра до сечения, равное 4 см.

   Применим теорему Пифагора:

   $$d^2 = R^2 + 4^2$$

   Подставим известные значения:

   $$10^2 = R^2 + 16$$ $$100 = R^2 + 16$$ $$R^2 = 84$$ $$R = \sqrt{84} \approx 9.17 \, \text{см}$$

3. Вычисление площади боковой поверхности цилиндра:
   Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле:

   $$S_{\text{бок}} = 2 \pi R h$$

   Для того чтобы найти высоту $h$, воспользуемся тем, что сечение цилиндра проходит через окружность основания, которая отсечена дугой 90 градусов. Эта дуга будет равна четверти окружности.

   Длина дуги, которая равна $\frac{1}{4}$ окружности, будет:

   $$\text{Длина дуги} = \frac{1}{4} \cdot 2 \pi R = \frac{\pi R}{2}$$

   Тогда высота цилиндра $h$ будет равна длине этой дуги, так как сечение проходит через эту дугу:

   $$h = \frac{\pi R}{2} \approx \frac{\pi \cdot 9.17}{2} \approx 14.4 \, \text{см}$$

4. Итоговая площадь боковой поверхности:

   Теперь мы можем вычислить площадь боковой поверхности:

   $$S_{\text{бок}} = 2 \pi \cdot 9.17 \cdot 14.4 \approx 830.9 \, \text{см}^2$$

Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра составляет примерно 830.9 см².