Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу в 120 градусов и удалена от оси на расстояние, равное 9. Диагональ получившегося сечения равна 12. Найдите объём цилиндра.

Рассмотрим круг основания цилиндра радиуса $R$. Плоскость параллельна оси цилиндра, значит она пересекает каждое основание по хорде, а боковую поверхность — по двум образующим. Поэтому сечение цилиндра этой плоскостью — прямоугольник со сторонами:

• высота цилиндра $h$;

• длина хорды $AB$ в основании.

1) Находим радиус по данным про дугу $120^\circ$ и расстояние до оси

Плоскость “отсекает дугу $120^\circ$” — это означает, что хорда $AB$ стягивает центральный угол

где $O$ — центр основания.

Расстояние от оси цилиндра до плоскости равно расстоянию от центра $O$ до хорды $AB$. Обозначим его $d$. По условию:

Для хорды, стягивающей угол $120^\circ$, расстояние от центра до хорды равно

Тогда

2) Находим длину хорды (ширину прямоугольного сечения)

Длина хорды при центральном угле $120^\circ$:

Подставляем $R=18$:

3) Проверяем условие про диагональ сечения

Сечение — прямоугольник со сторонами $h$ и $AB=18\sqrt{3}$. Его диагональ:

Но по условию диагональ равна $12$, значит

Это невозможно (квадрат числа не может быть отрицательным).

Есть и более простая проверка: диагональ прямоугольника всегда больше либо равна его большей стороне. А у нас ширина сечения

то есть диагональ должна быть не меньше $\approx 31{,}18$, но дана $12$.

Итог

Условия задачи противоречивы: при дуге $120^\circ$ и расстоянии до оси $9$ радиус основания неизбежно $R=18$, а ширина сечения $18\sqrt{3}$, поэтому диагональ сечения не может быть $12$. Следовательно, такого цилиндра не существует, и объём по данным условиям определить нельзя.