Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 2. Объем параллелепипеда равен 20. Найдите площадь поверхности и объем цилиндра.

Задача состоит в том, чтобы найти площадь поверхности и объем цилиндра, если известен объем прямоугольного параллелепипеда, описанного около цилиндра, и радиус его основания.

1. Параллелепипед описан около цилиндра:
   Параллелепипед, описанный около цилиндра, значит, что его боковые грани касаются боковой поверхности цилиндра, а его основания лежат на основаниях цилиндра.

2. Размеры параллелепипеда:
   Объем параллелепипеда равен 20. Пусть его размеры (длина, ширина и высота) обозначены как $a$, $b$ и $h$. Тогда объем параллелепипеда можно выразить как:

   $$V_{\text{параллелепипед}} = a \cdot b \cdot h = 20$$

3. Цилиндр:
   Цилиндр имеет радиус основания $r = 2$, и его высота равна $h$ (так как параллелепипед описан около цилиндра, высота параллелепипеда и цилиндра одинаковы).

4. Площадь основания цилиндра:
   Площадь основания цилиндра (круг) вычисляется по формуле:

   $$S_{\text{основания}} = \pi r^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$$

5. Высота цилиндра:
   Параллелепипед описан около цилиндра, что означает, что одна из сторон параллелепипеда $a$ или $b$ равна диаметру основания цилиндра, то есть $a = 2r = 4$.

   Теперь мы знаем, что длина одной из сторон параллелепипеда $a = 4$, и можем найти оставшиеся параметры. Площадь основания параллелепипеда будет равна:

   $$S_{\text{основания параллелепипеда}} = a \cdot b = 4 \cdot b$$

   Мы знаем, что объем параллелепипеда равен $20$, следовательно:

   $$4 \cdot b \cdot h = 20 \quad \Rightarrow \quad b \cdot h = 5$$

6. Решение для $b$ и $h$:
   Теперь, поскольку $h$ — это высота цилиндра, которая равна высоте параллелепипеда, можно выразить $h$ через $b$:

   $$h = \frac{5}{b}$$

7. Объем цилиндра:
   Объем цилиндра рассчитывается по формуле:

   $$V_{\text{цилиндр}} = \pi r^2 h = 4\pi h$$

   Подставляем значение $h$ из предыдущего шага:

   $$V_{\text{цилиндр}} = 4\pi \cdot \frac{5}{b} = \frac{20\pi}{b}$$

   Теперь нужно найти $b$. Из условия задачи известно, что $a = 4$, а площадь боковой поверхности параллелепипеда равна сумме всех его боковых поверхностей. Расчет покажет (S_{\text{поверхности}}....