1. Что называется расстоянием от точки до прямой? Что называется расстоянием между двумя параллельными прямыми? 2. Докажите, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

1. Расстояние от точки до прямой и расстояние между параллельными прямыми

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведённого из данной точки к этой прямой.

То есть если дана точка $A$ и прямая $l$, то из точки $A$ проводят перпендикуляр $AH$ к прямой $l$, где точка $H$ лежит на прямой $l$. Тогда длина отрезка $AH$ и называется расстоянием от точки $A$ до прямой $l$.

Важно, что именно перпендикуляр даёт кратчайшее расстояние от точки до прямой. Любой наклонный отрезок, проведённый из точки к этой прямой, будет длиннее перпендикуляра.

Расстоянием между двумя параллельными прямыми называется длина перпендикуляра, проведённого из любой точки одной прямой к другой прямой.

Пусть прямые $a$ и $b$ параллельны. Возьмём на прямой $a$ произвольную точку $A$ и проведём из неё перпендикуляр $AH$ к прямой $b$. Тогда длина отрезка $AH$ называется расстоянием между параллельными прямыми $a$ и $b$.

Это расстояние не зависит от выбора точки на первой прямой: для любых двух параллельных прямых все такие перпендикуляры равны.

2. Доказательство утверждения о катете против угла $30^\circ$

Утверждение: в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла $30^\circ$, равен половине гипотенузы.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором

Тогда третий угол равен

Гипотенуза — это сторона $AB$, так как она лежит против прямого угла. Катет, лежащий против угла $30^\circ$, — это сторона $BC$.

Докажем, что

Продлим или построим рядом второй треугольник, равный треугольнику $ABC$, так, чтобы получился равносторонний треугольник.

Можно рассуждать так. Возьмём треугольник $ABC$ и отразим его относительно катета $AC$. Получим треугольник $AB'C$, равный исходному треугольнику $ABC$.

Тогда:

потому что треугольники равны.

Кроме того,

и

При отражении угол при $C$ также сохраняется, поэтому угол между $CB$ и $CB'$ будет равен

Значит, точки $B, C, B'$ лежат на одной прямой, а отрезок $BB'$ состоит из двух равных частей:

Теперь рассмотрим треугольник $ABB'$. В нём углы при $B$ и $B'$ равны по $60^\circ$. Следовательно, третий угол при $A$ тоже равен $60^\circ$. Значит, треугольник $ABB'$ равносторонний.

Поэтому все его стороны равны:

Но выше мы получили, что

Значит,

Отсюда

Следовательно, катет $BC$, лежащий против угла $30^\circ$, равен половине гипотенузы.

Утверждение доказано.

Обратное утверждение

Обратное утверждение: если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то этот катет лежит против угла $30^\circ$.

Докажем его.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором

Пусть гипотенуза равна $AB$, а катет $BC$ равен половине гипотенузы:

Нужно доказать, что угол, лежащий против катета $BC$, равен $30^\circ$. То есть нужно доказать, что

Так как

то

Построим на стороне $BC$ отрезок $CB'$, равный