Диагональ прямоугольного параллелепипеда, в основании которого лежит квадрат, равна 8 см, а диагональ боковой грани равна 7 см. Найдите высоту параллелепипеда.

Пусть сторона квадрата в основании прямоугольного параллелепипеда равна $a$, а высота равна $h$.

Так как основание — квадрат, то размеры параллелепипеда можно записать как:

Диагональ боковой грани — это диагональ прямоугольника со сторонами $a$ и $h$. По условию она равна $7$ см, значит:

Диагональ всего прямоугольного параллелепипеда равна $8$ см. Она выражается через три измерения:

Получили систему:

Вычтем первое уравнение из второго:

Теперь подставим это в уравнение:

Высота параллелепипеда равна:

Приближённо:

Ответ: $\boxed{\sqrt{34}\text{ см}}$.