Через точку A, лежащую на окружности, проведены диаметр AB и хорда AC, причем AC = 10, угол BAC = 60°. Найти длину хорды CM, перпендикулярной AB.

Пусть $AB$ — диаметр окружности, а $AC$ — хорда длиной $10$, причем

Так как $AB$ — диаметр, то угол, опирающийся на него, прямой:

Значит, треугольник $ABC$ прямоугольный, где $AB$ — гипотенуза.

В этом треугольнике:

Так как $AC = 10$, получаем:

откуда

Значит, радиус окружности равен

Теперь рассмотрим хорду $CM$, которая проходит через точку $C$ и перпендикулярна диаметру $AB$. Пусть она пересекает $AB$ в точке $N$.

Из треугольника $ACN$:

Тогда

Поскольку диаметр $AB$ проходит через центр окружности и перпендикулярен хорде $CM$, он делит эту хорду пополам. Значит,

Следовательно,

Ответ: