Основание прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 - квадрат, длина стороны которого равна 6 см. Вычислите расстояние от вершины А до середины отрезка A1C1, если длина диагонали боковой грани параллелепипеда равна 10 см.
Пожалуйста полное решение с рисунком.

Давайте разберёмся с задачей шаг за шагом.

У нас есть прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, основание которого является квадратом с длиной стороны 6 см. Мы должны найти расстояние от вершины $A$ до середины отрезка $A_1C_1$, если длина диагонали боковой грани параллелепипеда равна 10 см.

Шаг 1: Определим размеры параллелепипеда

• Основание параллелепипеда — квадрат со стороной 6 см. Это означает, что длины рёбер $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ равны 6 см.
• Мы знаем, что диагональ боковой грани параллелепипеда, например, грани $ABCD$, имеет длину 10 см.

Шаг 2: Определим высоту параллелепипеда

Боковая грань параллелепипеда, такая как $AA_1C_1D_1$, представляет собой прямоугольный треугольник с катетами $6$ см и высотой $h$, и гипотенузой равной 10 см (по условию задачи).

Используем теорему Пифагора для этого прямоугольного треугольника:

Таким образом, высота параллелепипеда $h$ равна 8 см.

Шаг 3: Найдём координаты точек

Предположим, что параллелепипед расположен в прямоугольной системе координат, где:

• Точка $A$ находится в начале координат $(0, 0, 0)$,
• Точка $B$ имеет координаты $(6, 0, 0)$,
• Точка $C$ имеет координаты $(6, 6, 0)$,
• Точка $D$ имеет координаты $(0, 6, 0)$,
• Точка $A_1$ имеет координаты $(0, 0, 8)$ (высота параллелепипеда — 8 см),
• Точка $C_1$ имеет координаты $(6, 6, 8)$.

Шаг 4: Найдём середину отрезка $A_1C_1$

Середина отрезка $A_1C_1$ — это точка, для которой координаты равны средним арифметическим соответствующих координат точек $A_1$ и $C_1$.

Координаты середины отрезка $A_1C_1$ вычисляются как:

Таким образом, середина отрезка $A_1C_1$ имеет координаты $(3, 3, 8)$.

Шаг 5: Найдём расстояние от точки $A(0, 0, 0)$ до середины отрезка $A_1C_1(3, 3, 8)$

Теперь, чтобы найти расстояние между точками $A(0, 0, 0)$ и $(3, 3, 8)$, воспользуемся формулой для расстояния между двумя точками в пространстве: