2. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если AC1 = 13 см, BD = 12 см, BC1 =

Ответы на вопрос

Отвечает Костикина Ангелина.

Задача 2.

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁.
Известны диагонали:

$AC_1 = 13$ см — это пространственная диагональ, соединяющая вершины, не лежащие в одной плоскости.
$BD = 12$ см — это диагональ основания (прямоугольника ABCD).
$BC_1 = 11$ см — это также пространственная диагональ, соединяющая вершины одной боковой грани.

Обозначим:

Шаг 1: Используем $BD = 12$ см.
Диагональ основания прямоугольника:

BD = \sqrt{a^2 + b^2} = 12 \Rightarrow a^2 + b^2 = 144 \quad (1)

Шаг 2: Используем $BC_1 = 11$ см.
BC₁ соединяет вершины B и C₁. Векторно это длина:

BC_1 = \sqrt{(a)^2 + (b)^2 + (h)^2}, \text{но так как } BC_1 \text{ соединяет } B(0,a,0) \text{ и } C_1(b,a,h), \Rightarrow

BC_1 = \sqrt{b^2 + h^2} = 11 \Rightarrow b^2 + h^2 = 121 \quad (2)

Шаг 3: Используем $AC_1 = 13$ см.

AC_1 = \sqrt{a^2 + b^2 + h^2} = 13 \Rightarrow a^2 + b^2 + h^2 = 169 \quad (3)

Теперь решим систему:

Из (1): $a^2 + b^2 = 144$
Из (3): $a^2 + b^2 + h^2 = 169$
Вычтем (1) из (3):

h^2 = 169 - 144 = 25 \Rightarrow h = 5

Теперь подставим $h^2 = 25$ в (2):

b^2 + 25 = 121 \Rightarrow b^2 = 96 \Rightarrow b = \sqrt{96}

Теперь подставим $b^2 = 96$ в (1):

a^2 + 96 = 144 \Rightarrow a^2 = 48 \Rightarrow a = \sqrt{48}

Теперь найдём объём:

V = a \cdot b \cdot h = \sqrt{48} \cdot \sqrt{96} \cdot 5

Упростим:

\sqrt{48} = 4\sqrt{3}, \quad \sqrt{96} = 4\sqrt{6} \Rightarrow V = 4\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{6} \cdot 5 = 16\sqrt{18} \cdot 5 = 80\sqrt{18}

Ответы на вопрос