Стороны параллелограмма равны 1 см и 3 см, а угол между ними равен 120°. Чему равны диагонали параллелограмма?

Чтобы найти длины диагоналей параллелограмма с известными сторонами и углом между ними, можно использовать формулу, основанную на теореме косинусов.

В параллелограмме стороны, которые мы обозначим как $a$ и $b$, равны соответственно 1 см и 3 см. Угол между этими сторонами равен 120°. Обозначим диагонали как $d_1$ и $d_2$.

1. Для нахождения диагонали $d_1$, рассмотрим треугольник, образованный одной стороной параллелограмма (скажем, $a$), половиной диагонали $d_1$ и половиной другой диагонали $d_2$. По теореме косинусов:

   $\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 = a^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{d_2}{2} \cdot \cos(120°)$

2. Аналогично, для нахождения диагонали $d_2$, рассмотрим треугольник, образованный другой стороной параллелограмма (скажем, $b$), половинами диагоналей $d_1$ и $d_2$. Снова применим теорему косинусов:

   $\left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = b^2 + \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 - 2 \cdot b \cdot \frac{d_1}{2} \cdot \cos(120°)$

3. Косинус угла 120° равен $-\frac{1}{2}$. Подставим это значение в уравнения:

   $\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 = 1^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 + a \cdot \frac{d_2}{2}$ $\left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = 3^2 + \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + b \cdot \frac{d_1}{2}$

4. Эти уравнения можно решить с помощью метода подстановки или итерационного метода.

Теперь мы можем вычислить длины диагоналей $d_1$ и $d_2$.

Решение системы уравнений дает нам две пары значений для длин диагоналей параллелограмма. Однако второй набор значений содержит отрицательные числа, что не имеет физического смысла в данном контексте. Поэтому мы выбираем первую пару значений:

• Длина диагонали $d_1$ составляет приблизительно 9.92 см.
• Длина диагонали $d_2$ составляет приблизительно 10.23 см. ​​