Свойства перпендикуляра и наклонной. 10 класс.

Перпендикуляр и наклонная — это важная тема в геометрии 10 класса, особенно при изучении расстояний между точками, прямыми и плоскостями.

Рассмотрим основную ситуацию.

Пусть дана прямая или плоскость, и точка находится вне неё. Из этой точки можно провести:

перпендикуляр — отрезок, который образует с прямой или плоскостью угол 90°;

наклонную — любой другой отрезок, проведённый из этой точки к прямой или плоскости, но не под прямым углом.

Точка, в которой перпендикуляр пересекает прямую или плоскость, называется основанием перпендикуляра.

Точка, в которой наклонная пересекает прямую или плоскость, называется основанием наклонной.

Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, называется проекцией наклонной.

Например, если из точки $A$ к плоскости проведён перпендикуляр $AH$, а также наклонная $AB$, то $H$ — основание перпендикуляра, $B$ — основание наклонной, а $HB$ — проекция наклонной $AB$ на плоскость.

Главные свойства перпендикуляра и наклонной такие.

1. Перпендикуляр короче любой наклонной, проведённой из той же точки.

Если из точки $A$ к прямой или плоскости проведены перпендикуляр $AH$ и наклонная $AB$, то всегда:

Это объясняется тем, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше катета. В треугольнике $AHB$ угол $H$ прямой, значит $AB$ — гипотенуза, а $AH$ — катет. Поэтому наклонная длиннее перпендикуляра.

Из этого свойства следует важный вывод: расстояние от точки до прямой или плоскости измеряется именно длиной перпендикуляра, а не наклонной.

2. Равные наклонные имеют равные проекции.

Если из одной точки проведены две наклонные к прямой или плоскости, и эти наклонные равны, то равны и их проекции.

Например, если:

то:

Здесь $AH$ — общий перпендикуляр, а $HB$ и $HC$ — проекции наклонных $AB$ и $AC$.

Это свойство можно доказать через прямоугольные треугольники. Треугольники $AHB$ и $AHC$ прямоугольные, у них общий катет $AH$, а гипотенузы $AB$ и $AC$ равны. Значит, эти треугольники равны, поэтому равны и вторые катеты: $HB = HC$.

3. Если проекции наклонных равны, то равны и сами наклонные.

Это обратное свойство.

Если:

то:

То есть если основания наклонных находятся на одинаковом расстоянии от основания перпендикуляра, то сами наклонные тоже равны.

Доказательство также связано с равенством прямоугольных треугольников $AHB$ и $AHC$. У них общий катет $AH$, равные катеты $HB$ и $HC$, значит, треугольники равны, а их гипотенузы тоже равны.

4. Большей наклонной соответствует большая проекция.

Если из одной точки проведены две наклонные, то та наклонная больше, у которой больше проекция.

Например, если:

то:

И наоборот, если:

то:

Это свойство тоже следует из теоремы Пифагора. В прямоугольном треугольнике:

Так как $AH$ — общий перпендикуляр, длина наклонной зависит от длины её проекции. Чем больше проекция, тем больше наклонная.

5. Меньшей наклонной соответствует меньшая проекция.

Это просто другая формулировка предыдущего свойства.

Если одна наклонная меньше другой, то и её проекция меньше. Например:

тогда:

То есть наклонная и её проекция изменяются одинаково: большая наклонная имеет большую проекцию, меньшая наклонная имеет меньшую проекцию.

6. Если наклонная длиннее, значит её основание дальше от основания перпендикуляра.

Это геометрический смысл свойства проекций.

Представим точку $A$, из которой опущен перпендикуляр $AH$ на плоскость. Если точка $B$ на плоскости находится близко к точке $H$, то наклонная $AB$ будет сравнительно короткой. Если точка $C$ находится дальше от $H$, то наклонная $AC$ будет длиннее.

Иначе говоря, чем дальше основание наклонной от основания перпендикуляра, тем длиннее сама наклонная.

Основные формулы

Если $AH$ — перпендикуляр, $AB$ — наклонная, а $HB$ — её проекция, то треугольник $AHB$ прямоугольный. Поэтому можно использовать теорему Пифагора:

Отсюда:

Здесь:

$AB$ — наклонная;

$AH$ — перпендикуляр;

$HB$ — проекция наклонной.

Пример

Пусть из точки $A$ к плоскости проведён перпендикуляр $AH = 6$ см и наклонная $AB$, проекция которой $HB = 8$ см. Найдём длину наклонной.

По теореме Пифагора: