Дан шестиугольник А1А2А3А4А5А6. Его стороны А1А2 и А4А5 , А2А3 и А5А6 , А3А4 и А6А1 попарно равны и параллельны. Используя центральную симметрию, докажите, что диагонали А1А4, А2А5, А3А6 данного шестиугольника пересекаются в одной точке

Для доказательства того, что диагонали $A_1A_4$, $A_2A_5$ и $A_3A_6$ пересекаются в одной точке, воспользуемся центральной симметрией шестиугольника.

Шаг 1: Анализ структуры шестиугольника

По условию у нас есть шестиугольник $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$, в котором попарные стороны параллельны и равны:

• $A_1A_2 \parallel A_4A_5$ и $A_1A_2 = A_4A_5$,
• $A_2A_3 \parallel A_5A_6$ и $A_2A_3 = A_5A_6$,
• $A_3A_4 \parallel A_6A_1$ и $A_3A_4 = A_6A_1$.

Такая структура шестиугольника говорит о том, что он обладает центральной симметрией, то есть у него существует центр симметрии $O$, относительно которого противоположные точки шестиугольника симметричны.

Шаг 2: Введение центральной симметрии

Пусть $O$ — центр симметрии шестиугольника. В этом случае каждая точка на одной стороне шестиугольника имеет симметричную точку на противоположной стороне относительно точки $O$. То есть:

• Точка $A_1$ симметрична точке $A_4$ относительно $O$,
• Точка $A_2$ симметрична точке $A_5$ относительно $O$,
• Точка $A_3$ симметрична точке $A_6$ относительно $O$.

Шаг 3: Свойства диагоналей шестиугольника

Рассмотрим диагонали $A_1A_4$, $A_2A_5$ и $A_3A_6$. Эти диагонали соединяют попарно симметричные точки относительно $O$. Поскольку $O$ — центр симметрии, то эти диагонали должны проходить через точку $O$. Это означает, что каждая из диагоналей делится точкой $O$ пополам.

Шаг 4: Доказательство пересечения в одной точке

Так как все три диагонали $A_1A_4$, $A_2A_5$ и $A_3A_6$ проходят через точку $O$, можно утверждать, что они пересекаются в одной точке. Эта точка пересечения и является центром симметрии $O$ шестиугольника.

Заключение

Таким образом, мы доказали, что диагонали $A_1A_4$, $A_2A_5$ и $A_3A_6$ пересекаются в одной точке, которая является центром симметрии $O$ шестиугольника.