Отрезок MB перпендикулярен к плоскости треугольника ABC. Разложите вектор MC по векторам AB, AC, MB.

Номер 2:

Векторы a и b неколлинеарны. Найдите значения k, при которых векторы c = ka + 3b и вектор d = 3a + kb коллинеарны.

1. Разложение вектора \(\overrightarrow{MC}\) по векторам \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{MB}\).

Так как \(MB \perp (ABC)\), вектор \(\overrightarrow{MB}\) перпендикулярен плоскости и не лежит в ней. Выразим \(\overrightarrow{MC}\) через векторы треугольника и \(\overrightarrow{MB}\):

\(\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BC}\) (по правилу треугольника).

Но \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\). Тогда

\(\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MB} + (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{MB}\).

Итак, \(\overrightarrow{MC} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{MB}\).

2. Коллинеарность векторов \(\vec{c} = k\vec{a} + 3\vec{b}\) и \(\vec{d} = 3\vec{a} + k\vec{b}\).

Векторы коллинеарны, если существует число \(\lambda\) такое, что \(\vec{c} = \lambda \vec{d}\):

\(k\vec{a} + 3\vec{b} = \lambda(3\vec{a} + k\vec{b}) = 3\lambda\vec{a} + \lambda k\vec{b}\).

Так как \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) неколлинеарны, коэффициенты при них должны совпадать:

\(\begin{cases} k = 3\lambda, \\ 3 = \lambda k. \end{cases}\)

Подставляем \(\lambda = k/3\) во второе уравнение: \(3 = (k/3) \cdot k = k^2/3 \;\Rightarrow\; k^2 = 9 \;\Rightarrow\; k = \pm 3\).

Ответ: \(k = 3\) или \(k = -3\).

0 0 Пожаловаться