Медианы, проведённые к катетам прямоугольного треугольника, равны m₁ и m₂. Найдите медиану, проведённую к гипотенузе.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны \(a\) и \(b\), а гипотенуза равна \(c\). Медианы к катетам равны \(m_1\) и \(m_2\).

Для медиан получаются формулы:

\[m_1^2=\frac{a^2+4b^2}{4}\]

\[m_2^2=\frac{4a^2+b^2}{4}\]

Сложим их:

\[m_1^2+m_2^2=\frac{5(a^2+b^2)}{4}\]

Так как треугольник прямоугольный, \(a^2+b^2=c^2\). Тогда:

\[m_1^2+m_2^2=\frac{5c^2}{4}\]

Медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы: \(\frac{c}{2}\).

Значит, искомая медиана равна:

\[\sqrt{\frac{m_1^2+m_2^2}{5}}\]

Ответ: \(\sqrt{\frac{m_1^2+m_2^2}{5}}\).

0 0 Пожаловаться