Продолжения боковых сторон АВ и СД трапеции АВСД пересекаются в точке М. Укажите коэффициент гомотетии с центром в точке М, при которой отрезок ВС является образ отрезка АД, если АВ относится к ВМ как 7:2

Давайте разберём задачу. Имеется трапеция $ABCD$, у которой продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$. Нужно найти коэффициент гомотетии с центром в точке $M$, при котором отрезок $BC$ является образом отрезка $AD$.

Шаги решения:

1. Определение коэффициента гомотетии: Гомотетия — это преобразование, при котором точки фигуры переносятся на прямой, проходящей через центр гомотетии, с изменением расстояния в соответствии с коэффициентом гомотетии. Если две фигуры являются гомотетичными, то их соответствующие стороны пропорциональны, а их коэффициент гомотетии равен отношению длин соответствующих отрезков.

2. Отношение сторон $AB$ и $BM$: В условии задачи указано, что отношение $AB$ к $BM$ равно $\frac{7}{2}$. Это означает, что точка $M$ делит продолжение стороны $AB$ в соотношении 7:2, если считать от точки $A$ в направлении $B$.

3. Нахождение коэффициента гомотетии: Так как $M$ является центром гомотетии, можно использовать отношение $AB$ к $BM$ для определения коэффициента гомотетии $k$.

   Коэффициент гомотетии $k$ определяется как отношение всей длины стороны $AB$ к длине отрезка $MB$, так как мы рассматриваем гомотетию с центром в точке $M$.

   Запишем это в виде:

   $$k = -\frac{AB}{BM}$$

   Знак «минус» появляется из-за того, что $AD$ и $BC$ ориентированы в противоположных направлениях относительно точки $M$.

4. Подстановка значений: Подставляем данное нам отношение $\frac{7}{2}$ для $AB : BM$:

   $$k = -\frac{7}{2}$$

Ответ:

Коэффициент гомотетии $k$ с центром в точке $M$, при котором отрезок $BC$ является образом отрезка $AD$, равен $-\frac{7}{2}$.