Помогите пожалуйста!
Угол параллелограмма равен углу между его диагоналями. Найдите длину каждой диагонали, если стороны параллелограмма равны 4 корня из 2 и 9 корней из 2.

Обозначим стороны параллелограмма \( a = 4\sqrt{2} \), \( b = 9\sqrt{2} \), угол между ними \( \alpha \). Диагонали \( d_1 \) и \( d_2 \) выражаются через теорему косинусов:

\( d_1^2 = a^2 + b^2 + 2ab\cos\alpha \),

\( d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\alpha \).

Угол между диагоналями \( \varphi \) находится по формуле \( \cos\varphi = \frac{a^2 - b^2}{d_1 d_2} \). По условию \( \alpha = \varphi \), значит, \( \cos\alpha = \frac{a^2 - b^2}{d_1 d_2} \).

Подставим \( d_1 d_2 = \sqrt{(a^2+b^2)^2 - (2ab\cos\alpha)^2} \). После возведения в квадрат и упрощений получаем уравнение для \( \cos^2\alpha \). Один корень \( \cos^2\alpha = 1 \) не подходит (даёт вырожденный параллелограмм). Второй корень: \( \cos^2\alpha = \frac{(a^2 - b^2)^2}{4a^2 b^2} \).

Вычислим: \( a^2 = 32 \), \( b^2 = 162 \), \( a^2 - b^2 = -130 \), \( 2ab = 144 \). Тогда \( \cos\alpha = \pm \frac{65}{72} \).

При \( \cos\alpha = \frac{65}{72} \): \( 2ab\cos\alpha = 130 \), \( d_1^2 = 32+162+130 = 324 \Rightarrow d_1 = 18 \), \( d_2^2 = 32+162-130 = 64 \Rightarrow d_2 = 8 \). При \( \cos\alpha = -\frac{65}{72} \) значения меняются местами.

Ответ: длины диагоналей 8 и 18.

0 0 Пожаловаться