Дано: прямоугольный треугольник СВА, ВЕ — биссектриса, которая делит треугольник пополам, ВЕ = 6 см, угол А = 30°. Найти: угол ВЕА, СЕ, АС.

В прямоугольном треугольнике СВА прямой угол — B, ∠A = 30°, значит ∠C = 60°. Биссектриса BE делит угол B пополам, поэтому ∠ABE = ∠CBE = 45°.

В треугольнике ABE: ∠A = 30°, ∠ABE = 45°, следовательно ∠BEA = 180° − 30° − 45° = 105°.

По теореме синусов в треугольнике ABE: AB / sin 105° = BE / sin 30°. Так как sin 105° = sin 75° = \(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\), sin 30° = 1/2, получаем AB = 12 sin 105° = 3(\(\sqrt{6}+\sqrt{2}\)).

В прямоугольном треугольнике ABC (∠B = 90°) катет BC = AB · tg 30° = 3(\(\sqrt{6}+\sqrt{2}\)) / \(\sqrt{3}\) = \(\sqrt{3}\)(\(\sqrt{6}+\sqrt{2}\)). Гипотенуза AC = AB / cos 30° = 3(\(\sqrt{6}+\sqrt{2}\)) / (\(\sqrt{3}/2\)) = 2\(\sqrt{3}\)(\(\sqrt{6}+\sqrt{2}\)) = 2\(\sqrt{6}\)(\(\sqrt{3}+1\)).

По свойству биссектрисы AE / EC = AB / BC = \(\sqrt{3}\). Тогда EC = AC / (\(\sqrt{3}+1\)) = 2\(\sqrt{6}\)(\(\sqrt{3}+1\)) / (\(\sqrt{3}+1\)) = 2\(\sqrt{6}\) см.

Ответ: ∠BEA = 105°, CE = 2\(\sqrt{6}\) см, AC = 2\(\sqrt{6}\)(\(\sqrt{3}+1\)) см.

0 0 Пожаловаться