Две окружности касаются внешним образом. Их радиусы относятся как 3:1, а длина их общей внешней касательной равна 6√3. Найдите периметр фигуры, образованной внешними касательными и внешними частями окружностей.

Пусть радиусы окружностей \(3x\) и \(x\). Тогда расстояние между центрами \(d = 4x\). Длина общей внешней касательной \(L = \sqrt{d^2 - (3x - x)^2} = \sqrt{16x^2 - 4x^2} = 2x\sqrt{3}\). По условию \(L = 6\sqrt{3}\), откуда \(2x\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\), \(x = 3\). Радиусы: \(R = 9\), \(r = 3\).

Угол между линией центров и радиусом в точку касания: \(\sin \theta = L/d = 6\sqrt{3}/12 = \sqrt{3}/2\), значит \(\theta = 60^\circ\). Центральный угол меньшей дуги между точками касания на каждой окружности \(2\theta = 120^\circ\). Тогда внешняя (большая) дуга имеет угол \(360^\circ - 120^\circ = 240^\circ = \frac{4\pi}{3}\) рад.

Длина большой дуги на первой окружности: \(9 \cdot \frac{4\pi}{3} = 12\pi\), на второй: \(3 \cdot \frac{4\pi}{3} = 4\pi\).

Периметр фигуры: две касательные + две дуги = \(2 \cdot 6\sqrt{3} + 12\pi + 4\pi = 12\sqrt{3} + 16\pi\).

Ответ: \(12\sqrt{3} + 16\pi\).

0 0 Пожаловаться