Геометрия, 7 класс. Мерзляк, Полонский, Якир. Номер 404. Треугольник ABC равнобедренный с основанием AC. На стороне BC отметили точку M так, что BM=AM=AC. Найдите углы треугольника ABC.

Пусть \(\angle ABC = x\). Так как треугольник \(ABC\) равнобедренный с основанием \(AC\), то \(AB = BC\), а углы при основании равны:

\[\angle BAC = \angle ACB = \frac{180^\circ - x}{2}\]

Точка \(M\) лежит на стороне \(BC\), значит \(\angle ABM = \angle ABC = x\).

По условию \(BM = AM\), поэтому треугольник \(ABM\) равнобедренный, и \(\angle BAM = \angle ABM = x\). Тогда:

\[\angle AMB = 180^\circ - 2x\]

Также \(AM = AC\), значит треугольник \(AMC\) равнобедренный, поэтому:

\[\angle AMC = \angle ACM = \angle ACB = \frac{180^\circ - x}{2}\]

Углы \(AMB\) и \(AMC\) смежные, значит их сумма равна \(180^\circ\):

\[180^\circ - 2x + \frac{180^\circ - x}{2} = 180^\circ\]

Решаем:

\[360^\circ - 4x + 180^\circ - x = 360^\circ\]

\[180^\circ = 5x\]

\[x = 36^\circ\]

Значит, \(\angle ABC = 36^\circ\), а углы при основании:

\[\angle BAC = \angle ACB = \frac{180^\circ - 36^\circ}{2} = 72^\circ\]

Ответ: \(\angle A = 72^\circ\), \(\angle B = 36^\circ\), \(\angle C = 72^\circ\).

0 0 Пожаловаться