В основании четырёхугольной пирамиды лежит ромб со стороной 18 см и острым углом 60°. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей ромба и равна 12 см. Найдите площадь боковой поверхности данной пирамиды.

Основание пирамиды — ромб со стороной \(a = 18\) см и острым углом \(60^\circ\). Высота \(h = 12\) см проходит через точку пересечения диагоналей, поэтому вершина проектируется в центр ромба. В ромб можно вписать окружность, и расстояние от центра до любой стороны равно радиусу вписанной окружности \(r\).

Площадь ромба: \(S_{\text{осн}} = a^2 \sin 60^\circ = 18^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 162\sqrt{3}\) см². С другой стороны, \(S_{\text{осн}} = p \cdot r\), где полупериметр \(p = 2a = 36\) см. Тогда \(r = \frac{162\sqrt{3}}{36} = 4{,}5\sqrt{3}\) см.

Апофема (высота боковой грани) \(l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{12^2 + (4{,}5\sqrt{3})^2} = \sqrt{144 + 20{,}25 \cdot 3} = \sqrt{144 + 60{,}75} = \sqrt{204{,}75} = \frac{3\sqrt{91}}{2}\) см.

Площадь боковой поверхности: \(S_{\text{бок}} = 4 \cdot \frac{1}{2} a l = 2 a l = 2 \cdot 18 \cdot \frac{3\sqrt{91}}{2} = 54\sqrt{91}\) см².

Ответ: \(54\sqrt{91}\) см².

0 0 Пожаловаться