В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла С опущен перпендикуляр CD на гипотенузу АВ, и на нём как на диаметре построена окружность. В окружности проведена хорда MN, соединяющая точки пересечения окружности с катетами треугольника.
а) Определить MN, если АС = 15 см, а ВС = 20 см.
б) Доказать, что ΔMNC ~ ΔABC.
в) Доказать, что MN = ...

Разберу задачу через удобные обозначения и затем отдельно отвечу на пункты а), б), в).

Пусть в прямоугольном треугольнике $ABC$ прямой угол находится в точке $C$, а катеты:

Гипотенуза:

Из точки $C$ опущена высота $CD$ на гипотенузу $AB$. На $CD$ как на диаметре построена окружность. Она пересекает катеты $AC$ и $BC$ в точках $M$ и $N$, отличных от точки $C$. Нужно найти хорду $MN$.

а) Найдём $MN$

Обозначим:

В нашей задаче:

Высота из прямого угла на гипотенузу равна:

Подставим значения:

Теперь покажем, что именно $MN=CD$.

Расположим треугольник так, чтобы точка $C$ была началом координат, катет $AC$ лежал на оси $x$, а катет $BC$ — на оси $y$. Тогда:

Прямая $AB$ имеет уравнение:

Точка $D$ — основание перпендикуляра из $C$ на $AB$. Для прямоугольного треугольника её координаты равны:

Подставим числа:

Окружность построена на $CD$ как на диаметре. Поэтому её уравнение имеет вид:

Пересечём её с катетом $AC$, то есть с осью $x$. Там $y=0$:

Одна точка пересечения — $C(0;0)$, другая — $M(9{,}6;0)$. Значит:

Теперь пересечём окружность с катетом $BC$, то есть с осью $y$. Там $x=0$: