Правильный многоугольник: вывод формулы для нахождения стороны правильного многоугольника.

Если правильный многоугольник имеет \(n\) сторон и описанную окружность радиуса \(R\), то его сторону можно найти по формуле:

\[a = 2R\sin\frac{\pi}{n}\]

Почему так получается: соединим центр многоугольника с двумя соседними вершинами. Получится равнобедренный треугольник с боковыми сторонами \(R\) и \(R\). Угол при центре равен:

\[\frac{360^\circ}{n}\]

Если провести высоту к стороне многоугольника, этот треугольник разделится на два прямоугольных. Половина стороны равна:

\[\frac{a}{2} = R\sin\frac{180^\circ}{n}\]

Значит вся сторона:

\[a = 2R\sin\frac{180^\circ}{n}\]

В радианах та же формула записывается так:

\[a = 2R\sin\frac{\pi}{n}\]

Если известен радиус вписанной окружности \(r\), то используют формулу:

\[a = 2r\tan\frac{\pi}{n}\]

0 0 Пожаловаться