1019. Дано тетраедр ABCD, у якому AC = 6 см, BD = 8 см, M — середина AB, N — середина CD і MN = 5 см. Знайдіть кут між BD і AC.

Нехай вектори \(\vec{AC}\) і \(\vec{BD}\) мають довжини:

\[AC=6, \quad BD=8\]

Оскільки \(M\) — середина \(AB\), а \(N\) — середина \(CD\), то для відрізка, що сполучає середини протилежних ребер тетраедра, маємо:

\[2\vec{MN}=\vec{AC}+\vec{BD}\]

Тоді:

\[4MN^2=AC^2+BD^2+2\cdot AC\cdot BD\cdot \cos\varphi\]

Підставимо дані:

\[4\cdot5^2=6^2+8^2+2\cdot6\cdot8\cdot\cos\varphi\]

\[100=36+64+96\cos\varphi\]

\[100=100+96\cos\varphi\]

\[\cos\varphi=0\]

Отже:

\[\varphi=90^\circ\]

Відповідь: кут між \(BD\) і \(AC\) дорівнює \(90^\circ\).

0 0 Пожаловаться