Длина окружности, вписанной в квадрат, равна 20π. Найдите площадь квадрата.

Давай разберёмся шаг за шагом.

1. Дано: длина окружности, вписанной в квадрат, равна $20\pi$.

   Напомню, что окружность, вписанная в квадрат, имеет диаметр, равный стороне квадрата $a$. Обозначим сторону квадрата как $a$.

2. Связь длины окружности с радиусом:
   Формула длины окружности:

   $$C = 2\pi r$$

   где $r$ — радиус окружности.

   Подставим $C = 20\pi$:

   $$20\pi = 2\pi r$$

3. Найдём радиус:
   Разделим обе стороны на $2\pi$:

   $$r = \frac{20\pi}{2\pi} = 10$$

   Радиус окружности $r = 10$.

4. Связь радиуса и стороны квадрата:
   Для вписанной окружности диаметр равен стороне квадрата:

   $$d = 2r = a$$

   Подставим $r = 10$:

   $$a = 2 \cdot 10 = 20$$

   Значит, сторона квадрата $a = 20$.

5. Площадь квадрата:
   Площадь квадрата вычисляется по формуле:

   $$S = a^2$$

   Подставим $a = 20$:

   $$S = 20^2 = 400$$

✅ Ответ: площадь квадрата равна 400.