теорема о пропорциональности отрезков пересекающихся хорд и доказательство

Теорема о пересекающихся хордах

Если две хорды окружности $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой:

Иначе говоря, отрезки хорд пропорциональны:

Точка $P$ при этом находится внутри окружности.

Доказательство

Пусть хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$.

Рассмотрим треугольники $PAD$ и $PCB$.

1. Углы $\angle APD$ и $\angle CPB$ равны, так как это вертикальные углы:

2. Углы $\angle PAD$ и $\angle PCB$ равны.
   Угол $\angle PAD$ фактически является вписанным углом $\angle BAD$, а угол $\angle PCB$ — вписанным углом $\angle DCB$. Оба эти угла опираются на одну и ту же дугу $BD$, поэтому они равны:

Следовательно, треугольники $PAD$ и $PCB$ подобны по двум углам.

Из подобия следует пропорция соответствующих сторон:

Перемножим крайние и средние члены пропорции:

Что и требовалось доказать.

Смысл теоремы состоит в том, что при пересечении хорд внутри окружности произведения получившихся частей каждой хорды всегда одинаковы.