Стороны основания треугольной пирамиды равны 9 см, 12 см, 15 см. Вершина пирамиды удалена от всех сторон основания на одинаковое расстояние 5 см. Найдите высоту пирамиды.

Рассмотрим треугольную пирамиду $SABC$, у которой основание — треугольник со сторонами $9$, $12$, $15$.

1. Анализ основания

Заметим, что треугольник со сторонами $9$, $12$, $15$ является прямоугольным, так как:

Площадь основания:

Полупериметр:

Радиус вписанной окружности:

2. Геометрический смысл условия

Вершина пирамиды удалена от всех сторон основания на одинаковое расстояние $5$ см.

Это означает, что проекция вершины $S$ на плоскость основания — точка $H$, равноудалённая от всех сторон треугольника, то есть центр вписанной окружности.

Значит расстояние от $H$ до каждой стороны равно $r = 3$.

3. Связь расстояния в пространстве

Расстояние от вершины $S$ до любой стороны основания выражается через прямоугольный треугольник:

где:

• $h$ — высота пирамиды (перпендикуляр от $S$ к плоскости основания),

• $r = 3$.

Подставим значения:

Ответ: