AK — биссектриса угла BAC, AM = MK. Докажите, что MK || AC.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Пусть $AK$ — биссектриса угла $BAC$, значит

Точка $K$ лежит на стороне $BC$, а точка $M$ расположена так, что $AM = MK$. Следовательно, треугольник $AMK$ равнобедренный с равными сторонами $AM$ и $MK$, значит его углы при основании равны:

Теперь заметим, что точка $M$ лежит на прямой $AB$, поэтому луч $AM$ совпадает с лучом $AB$. Тогда

Подставим это в равенство равнобедренного треугольника:

Но так как $AK$ — биссектриса угла $BAC$, имеем:

Следовательно,

Эти углы являются накрест лежащими при пересечении прямых $MK$ и $AC$ секущей $AK$. Равенство накрест лежащих углов означает, что прямые параллельны.

Отсюда: