1. Что такое секущая? Назовите пары углов, которые образуются при пересечении двух прямых секущей.
2. Докажите свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°. Сформулируйте обратное утверждение.

1. Секущая — это прямая, которая пересекает две другие прямые в разных точках.

При пересечении двух прямых секущей образуется восемь углов. Среди них выделяют следующие пары:

• Соответственные углы — занимают одинаковое положение относительно секущей и пересекаемых прямых. Например, оба могут находиться справа от секущей и выше каждой из прямых.

• Накрест лежащие углы — лежат между пересекаемыми прямыми, но по разные стороны от секущей.

• Односторонние углы — лежат между пересекаемыми прямыми и по одну сторону от секущей.

Также у каждой точки пересечения имеются:

• Вертикальные углы — углы, расположенные друг напротив друга; они равны.

• Смежные углы — имеют общую сторону, а две другие их стороны являются противоположными лучами; их сумма равна $180^\circ$.

2. Свойство катета, лежащего против угла $30^\circ$

Теорема. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла $30^\circ$, равен половине гипотенузы.

Пусть $ABC$ — прямоугольный треугольник, где

Тогда катет $BC$ лежит против угла $A$, а $AB$ — гипотенуза. Нужно доказать, что

Продлим катет $BC$ за точку $C$ и отметим точку $D$ так, чтобы

Треугольники $ABC$ и $ACD$ равны по двум катетам:

а углы при $C$ в обоих треугольниках прямые.

Следовательно,

а также

Значит,

Треугольник $ABD$ равнобедренный, так как $AB=AD$, и угол при вершине $A$ равен $60^\circ$. Тогда его углы при основании тоже равны $60^\circ$. Следовательно, треугольник $ABD$ равносторонний, поэтому

Но

Следовательно,

откуда

Что и требовалось доказать.

Обратное утверждение: если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен $30^\circ$.