Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 28. найдите объем конуса

Для решения этой задачи нужно учитывать, что конус вписан в шар, а радиус основания конуса равен радиусу самого шара. Давайте пошагово разберем решение.

1. Дано:

   • Объем шара $V_{\text{шар}} = 28$.
   • Радиус основания конуса $R$ равен радиусу шара, то есть $R = r$.
   • Объем шара $V_{\text{шар}}$ можно выразить через радиус $r$ по формуле: $$V_{\text{шар}} = \frac{4}{3} \pi r^3$$ Нам известно, что объем шара равен 28, то есть: $$\frac{4}{3} \pi r^3 = 28$$

2. Найдем радиус шара: Чтобы найти $r$, выразим его из этой формулы:

   $$r^3 = \frac{28 \cdot 3}{4 \pi} = \frac{84}{4 \pi} = \frac{21}{\pi}$$

   Теперь извлечем кубический корень из обеих сторон:

   $$r = \sqrt[3]{\frac{21}{\pi}}$$

   Это значение радиуса.

3. Объем конуса: Объем конуса рассчитывается по формуле:

   $$V_{\text{конус}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$

   где $r$ — радиус основания конуса, а $h$ — высота конуса.

   Для конуса, вписанного в шар, высота $h$ равна диаметру шара, то есть:

   $$h = 2r$$

   Подставим это в формулу для объема конуса:

   $$V_{\text{конус}} = \frac{1}{3} \pi r^2 \cdot 2r = \frac{2}{3} \pi r^3$$

4. Подставим значение $r^3$: Мы уже нашли, что $r^3 = \frac{21}{\pi}$, поэтому объем конуса будет:

   $$V_{\text{конус}} = \frac{2}{3} \pi \cdot \frac{21}{\pi} = \frac{2}{3} \cdot 21 = 14$$

Ответ: объем конуса равен 14.