Из точки О проведены две касательные к окружности. Найдите угол между касательными, если эти касательные делят дугу окружности в отношении 13:5.

Пусть из точки O к окружности проведены касательные OA и OB, точки касания — A и B. Эти касательные выделяют на окружности две дуги AB: меньшую и большую.

По условию дуги относятся как 13:5. Поскольку большая дуга всегда больше 180°, а меньшая меньше 180°, разумно принять:

• большая дуга = 13x

• меньшая дуга = 5x

Тогда сумма дуг:
5x + 13x = 360°
18x = 360°
x = 20°

Значит:

• меньшая дуга = 5x = 100°

• большая дуга = 13x = 260°

Теперь используем известное свойство: угол между двумя касательными, проведёнными из одной точки, равен
180° минус величина меньшей дуги между точками касания.

∠AOB = 180° − 100° = 80°

Ответ: 80°