Из точки А проведены две касательные к окружности с
центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол
между касательными равен 60°, а расстояние от точки А до
точки О равно 6.
ПОМОГИТЕ)

Чтобы найти радиус окружности $R$, воспользуемся геометрическими свойствами касательных к окружности.

Шаг 1. Анализ задачи

1. У нас есть две касательные, проведённые из точки $A$ к окружности с центром $O$.
2. Расстояние от точки $A$ до центра окружности $O$ равно $6$.
3. Угол между касательными равен $60^\circ$.

Известно, что касательные, проведённые из одной точки к окружности, равны между собой, а линия, соединяющая точку $A$ и центр $O$, делит угол между касательными пополам. Значит, каждый из углов между радиусом $OA$ и касательной равен $30^\circ$ (половина от $60^\circ$).

Шаг 2. Построение геометрических отношений

1. Проведём радиусы к точкам касания. Эти радиусы перпендикулярны касательным.
2. Таким образом, мы имеем равнобедренный треугольник $OAB$, где:
   • $O$ — центр окружности,
   • $A$ — точка, из которой проведены касательные,
   • $B$ — точка касания (одна из двух).
3. Угол между радиусами, проведёнными в точки касания, равен удвоенному углу между радиусом $OA$ и касательной, то есть $2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.

Шаг 3. Связь радиуса и расстояния

Рассмотрим треугольник $OAB$:

• $\triangle OAB$ является равнобедренным,
• $OA = OB = 6$, поскольку это расстояние от точки $A$ до $O$,
• $\angle AOB = 60^\circ$.

Мы используем свойства равнобедренного треугольника и тригонометрию: В этом треугольнике сторона $AB$ является основанием, и её можно найти через синус угла:

Но, с другой стороны, высота $OH$ (перпендикуляр из $O$ на $AB$) делит основание пополам:

где $H$ — точка пересечения высоты с основанием $AB$.

Используем теорему косинусов:

где $OA = 6$. Подставляем значения:

Шаг 4. Решение уравнения

Упростим уравнение:

Берём квадратный корень:

Ответ:

Радиус окружности $R$ равен 6.