Апофема правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF равно 8.Радиус окружности,вписанной в основание пирамиды,равен 4.Найдите площадь полной поверхности пирамиды!(можно все с объяснениями и формулировками,очень надо,борьба за четвертную оценку)

Дано:

• апофема правильной шестиугольной пирамиды: (l=8);

• радиус окружности, вписанной в основание: (r=4).

Найти: площадь полной поверхности пирамиды.

Полная поверхность пирамиды состоит из:

1. площади боковой поверхности;

2. площади основания.

То есть:

[
S_{\text{полн}}=S_{\text{бок}}+S_{\text{осн}}.
]

Основание пирамиды — правильный шестиугольник.

1. Найдём периметр основания

Радиус вписанной окружности правильного шестиугольника равен его апофеме. Для правильного шестиугольника:

[
r=\frac{a\sqrt3}{2},
]

где (a) — сторона шестиугольника.

Подставим (r=4):

[
4=\frac{a\sqrt3}{2}.
]

Умножим обе части на (2):

[
8=a\sqrt3.
]

Тогда:

[
a=\frac{8}{\sqrt3}.
]

Рационализируем знаменатель:

[
a=\frac{8\sqrt3}{3}.
]

Периметр правильного шестиугольника:

[
P=6a.
]

[
P=6\cdot \frac{8\sqrt3}{3}=16\sqrt3.
]

2. Найдём площадь боковой поверхности

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды вычисляется по формуле:

[
S_{\text{бок}}=\frac12 Pl,
]

где (P) — периметр основания, а (l) — апофема пирамиды.

[
S_{\text{бок}}=\frac12\cdot 16\sqrt3\cdot 8.
]

[
S_{\text{бок}}=64\sqrt3.
]

3. Найдём площадь основания

Площадь правильного многоугольника можно найти по формуле:

[
S_{\text{осн}}=\frac12 Pr,
]

где (r) — радиус вписанной в основание окружности.

[
S_{\text{осн}}=\frac12\cdot 16\sqrt3\cdot 4.
]

[
S_{\text{осн}}=32\sqrt3.
]

4. Найдём площадь полной поверхности

[
S_{\text{полн}}=S_{\text{бок}}+S_{\text{осн}}.
]

[
S_{\text{полн}}=64\sqrt3+32\sqrt3.
]

[
S_{\text{полн}}=96\sqrt3.
]

[
\boxed{96\sqrt3}
]

Ответ: (\boxed{96\sqrt3}) квадратных единиц.