В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла C проведена медиана CM и высота CH. Известно, что длина CM : CH = 5 : 4 и точка H находится между точками A и M. Найдите отношение длины AH : AM.

Пусть длина медианы $CM$ равна $1$. В прямоугольном треугольнике медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы, поэтому:

Значит, гипотенуза:

По условию:

Так как $CM=1$, получаем:

Обозначим:

Так как точка $H$ находится между $A$ и $M$, имеем:

А вся гипотенуза равна $AB=2$, поэтому:

В прямоугольном треугольнике высота, проведённая к гипотенузе, удовлетворяет свойству:

Подставим известные значения:

Перенесём всё в одну сторону:

Решаем квадратное уравнение:

Получаем два значения:

и

Так как $H$ лежит между $A$ и $M$, должно быть $AH$, поэтому подходит только:

Теперь найдём отношение:

Умножаем обе части на 5:

Ответ: $2:5$.