В треугольнике ABC внешние углы при вершинах A и C равны 150 градусов, AB равна54.Найдите биссектрису BK

Для решения задачи определим ключевые моменты и воспользуемся свойствами треугольников.

Дано:

1. Внешние углы при вершинах $A$ и $C$ равны $150^\circ$.
2. Сторона $AB = 54$.
3. Нужно найти длину биссектрисы $BK$, где $K$ — точка на стороне $AC$.

Решение:

Шаг 1. Найдем внутренние углы треугольника

Внешний угол при вершине треугольника равен $180^\circ - \alpha$, где $\alpha$ — внутренний угол при той же вершине.

• Угол при вершине $A$: $180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.
  Значит, внутренний угол при $A = 30^\circ$.
• Угол при вершине $C$: $180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.
  Значит, внутренний угол при $C = 30^\circ$.

Так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, внутренний угол при вершине $B$:

Шаг 2. Формула длины биссектрисы

Для нахождения длины биссектрисы $BK$ воспользуемся формулой длины биссектрисы в треугольнике:

где:

• $a$, $b$, $c$ — стороны треугольника,
• $b$ — сторона, к которой проведена биссектриса (в нашем случае, $b = AC$),
• $l_b$ — длина биссектрисы.

Шаг 3. Найдем длины сторон треугольника

Сторона $AB = 54$. Осталось найти длины сторон $BC$ и $AC$. Треугольник не равнобедренный, поэтому используем соотношения углов и сторон.

Отношение сторон треугольника пропорционально синусам противоположных углов (по теореме синусов):

Подставим углы:

• $\sin A = \sin 30^\circ = 0.5$,
• $\sin B = \sin 120^\circ = \sin 60^\circ = \sqrt{3}/2$,
• $\sin C = \sin 30^\circ = 0.5$.

Отношение сторон:

Значит:

Шаг 4. Найдем биссектрису $BK$

Теперь воспользуемся формулой для биссектрисы. Подставим:

• $a = AB = 54$,
• $b = AC = 54\sqrt{3}$,
• $c = BC = 54$.

Формула:

Считаем: