2 параллельные прямые пересекают окружность. Рассмотрим на окружности две дуги, лежащие между этими прямыми. Оказывается, эти дуги всегда равны. Почему?

Пусть две параллельные прямые пересекают окружность в точках $A,B$ и $C,D$. Дуги, расположенные между прямыми по разные стороны окружности, обозначим $AC$ и $BD$.

Проведём через центр окружности $O$ прямую, перпендикулярную данным параллельным прямым. Эта прямая будет перпендикулярна обеим хордам $AB$ и $CD$.

Из свойства окружности известно: перпендикуляр, проведённый из центра к хорде, делит эту хорду пополам. Поэтому проведённая прямая является серединным перпендикуляром сразу для обеих хорд:

Теперь рассмотрим отражение относительно этой прямой. При таком отражении:

• окружность переходит сама в себя, поскольку ось отражения проходит через её центр;

• точка $A$ переходит в $B$;

• точка $C$ переходит в $D$;

• дуга $AC$ переходит в дугу $BD$.

Отражение сохраняет длины, следовательно,

Иными словами, общая ось симметрии окружности и двух параллельных хорд переводит одну дугу, лежащую между прямыми, в другую. Поэтому эти дуги всегда равны.