Докажите, что два равнобедренных треугольника равны, если их гипотенузы равны.

Гипотенуза бывает только у прямоугольного треугольника, поэтому речь идёт о равнобедренных прямоугольных треугольниках.

Пусть даны треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, у которых

а гипотенузы равны:

Так как каждый из треугольников равнобедренный, его катеты равны:

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Поэтому в первом треугольнике

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$, следовательно,

Аналогично во втором треугольнике:

Таким образом,

Следовательно, треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Итак, два равнобедренных прямоугольных треугольника с равными гипотенузами равны.