Сторона ромба равна 10 см, острый угол 60°. Через одну из сторон ромба проведена плоскость. Проекция второй стороны на плоскость равна 8 см. Найдите проекции диагоналей ромба на эту плоскость. Объяснить с рисунком.

Обозначим ромб $ABCD$, где $AB=AD=10$ см и острый угол

Через сторону $AB$ проведена плоскость $\alpha$. Пусть $D_1$ — ортогональная проекция точки $D$ на эту плоскость. По условию проекция стороны $AD$ равна

Проекция точки $C$ обозначим $C_1$.

Схематически:

          D────────C
         /        /
        /        /
       /        /
      A────────B          ромб ABCD
       \ 60°

          ↓ ортогональное проектирование

             D₁────────C₁
            /          /
           /          /
          A──────────B
             плоскость α

          AB = 10
          AD₁ = 8

Поскольку сторона $AB$ целиком лежит в плоскости $\alpha$, при проектировании она не изменяется:

Главный момент — найти угол $\phi =\angle BA{D}_1$.

В исходном ромбе проекция стороны $AD$ на направление $AB$ равна

При ортогональном проектировании всего ромба на плоскость $\alpha$ эта составляющая вдоль $AB$ не меняется. Поэтому для $A{D}_1$:

Так как $A{D}_1=8$,

откуда

Теперь рассмотрим проекции диагоналей. Проекция ромба $ABCD$ на плоскость представляет собой параллелограмм $AB{C}_1{D}_1$. Поэтому проекции диагоналей $AC$ и $BD$ — это соответственно диагонали $A{C}_1$ и $B{D}_1$ этого параллелограмма.

1. Проекция большой диагонали $AC$

В треугольнике $AB{C}_1$:

Подставим:

Следовательно,

То есть

Приблизительно это $16,25$ см.

2. Проекция второй диагонали $BD$

Для второй диагонали параллелограмма:

Подставляем:

Значит,

Ответ: