На рисунке четырехугольник ABCD – параллелограмм. Луч АN – биссектриса угла BAD, луч ВМ – биссектриса угла ABC. Докажите, что ABNM – параллелограмм

Для доказательства того, что четырехугольник $ABNM$ является параллелограммом, воспользуемся свойствами параллелограмма $ABCD$ и свойствами биссектрис.

Дано:

• $ABCD$ — параллелограмм, то есть $AB \parallel CD$ и $AD \parallel BC$, и противоположные стороны параллелограмма равны: $AB = CD$ и $AD = BC$.
• $AN$ — биссектриса угла $\angle BAD$, то есть делит угол $BAD$ пополам.
• $BM$ — биссектриса угла $\angle ABC$, то есть делит угол $ABC$ пополам.

Требуется доказать:

Четырехугольник $ABNM$ является параллелограммом.

Доказательство:

1. Рассмотрим углы $\angle BAN$ и $\angle NAB$ как половины угла $\angle BAD$, поскольку $AN$ является биссектрисой угла $BAD$. Аналогично, углы $\angle ABM$ и $\angle MBA$ являются половинами угла $\angle ABC$, так как $BM$ — биссектриса угла $ABC$.

2. В параллелограмме $ABCD$ углы $\angle BAD$ и $\angle ABC$ являются внутренними односторонними углами при параллельных сторонах $AB$ и $CD$, и поэтому:

   $$\angle BAD + \angle ABC = 180^\circ.$$

   Следовательно, половина от этой суммы также составляет 90 градусов:

   $$\angle BAN + \angle ABM = 90^\circ.$$

3. Поскольку $\angle BAN = \angle NAB$ и $\angle ABM = \angle MBA$ (по свойствам биссектрис), мы можем утверждать, что углы между лучами $AN$ и $BM$ равны 90 градусам, а значит, эти лучи параллельны: $AN \parallel BM$.

4. Таким образом, в четырехугольнике $ABNM$ у нас есть две противоположные стороны $AB$ и $NM$, которые параллельны (поскольку $AB \parallel CD$ в параллелограмме, и $AN \parallel BM$ по доказанному выше).

5. Теперь осталось доказать, что противоположные стороны $AB$ и $NM$ равны по длине. Поскольку $AB = CD$, а $NM$, будучи параллельным и равным $CD$, также равно $AB$ (в силу того, что $AN$ и $BM$ — половины углов при вершинах $A$ и $B$ соответственно).

6. По определению, если в четырехугольнике противоположные стороны попарно параллельны и равны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Заключение:

Мы доказали, что четырехугольник $ABNM$ является параллелограммом, так как его противоположные стороны попарно параллельны и равны.