В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а AB = BC = AC = 14.

а) Докажите, что эта пирамида правильная.
б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причем DM : MA = DN : NC = 6 : 1. Найдите площадь сечения MNB.

Задание: Пирамида ABCD, рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а AB = BC = AC = 14.

Часть (а): Докажите, что эта пирамида правильная.

Для начала, давайте разберемся, что такое правильная пирамида. Правильная пирамида — это пирамида, у которой основание является правильным многоугольником, а все рёбра, соединяющие вершину с вершинами основания, равны между собой.

1. Исходные данные:

   • Рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, то есть угол между любыми двумя рёбрами из этих трёх равен 90°.
   • Длины рёбер AB = BC = AC = 14.

2. Докажем, что основание пирамиды — правильный треугольник.

   Рассмотрим треугольник ABC, у которого все рёбра равны (AB = BC = AC = 14). Это означает, что треугольник ABC — равносторонний.

3. Докажем, что рёбра, соединяющие вершину D с вершинами основания, равны.

   Поскольку рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, можно разместить пирамиду в прямоугольной системе координат, где:

   • Вершина A находится в точке $A(14, 0, 0)$,
   • Вершина B в точке $B(0, 14, 0)$,
   • Вершина C в точке $C(0, 0, 14)$,
   • Вершина D, соответственно, в точке $D(0, 0, 0)$, так как рёбра DA, DB и DC перпендикулярны и имеют одинаковую длину.

4. Рёбра DA, DB и DC одинаковы по длине.

   Расстояния от D до A, B и C равны:

   $$DA = \sqrt{(14-0)^2 + (0-0)^2 + (0-0)^2} = 14,$$ $$DB = \sqrt{(0-0)^2 + (14-0)^2 + (0-0)^2} = 14,$$ $$DC = \sqrt{(0-0)^2 + (0-0)^2 + (14-0)^2} = 14.$$

   Это доказывает, что все рёбра, соединяющие вершину D с вершинами основания (DA, DB и DC), имеют одинаковую длину. Следовательно, пирамида является правильной.

Часть (б): Найдите площадь сечения MNB.

Теперь перейдём ко второй части задачи. На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N, причем соотношения $DM : MA = 6 : 1$ и $DN : NC = 6 : 1$.

1. Определим координаты точек M и N.

   Точка M делит отрезок DA в отношении 6:1, то есть точка M находится на 6/7 отрезка DA от точки D. Вектор от D до A равен $\overrightarrow{DA} = (14, 0, 0)$, и точка M будет иметь координаты:

   $$M = \left( \frac{6}{7} \cdot 14, 0, 0 \right) = (12, 0, 0).$$

   Точка N делит отрезок DC в отношении 6:1, то есть точка N находится на 6/7 отрезка DC от точки D. Вектор от D до C равен $\overrightarrow{DC} = (0, 0, 14)$, и точка N будет иметь координаты:

   $$N = \left( 0, 0, \frac{6}{7} \cdot 14 \right) = (0, 0, 12).$$

2. Найдем координаты точек M, N и B.

   Мы уже знаем, что координаты точки B — $B(0, 14, 0)$.

3. Векторы, определяющие треугольник MNB.

   Теперь найдём два вектора, определяющих плоскость сечения MNB:

   • Вектор $\overrightarrow{MB} = B - M = (0, 14, 0) - (12, 0, 0) = (-12, 14, 0)$,
   • Вектор $\overrightarrow{NB} = B - N = (0, 14, 0) - (0, 0, 12) = (0, 14, -12)$.

4. Вычислим векторное произведение этих векторов.

   Векторное произведение векторов $\overrightarrow{MB}$ и $\overrightarrow{NB}$ будет равно:

   $$\overrightarrow{MB} \times \overrightarrow{NB} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -12 & 14 & 0 \\ 0 & 14 & -12 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(14 \cdot (-12) - 0 \cdot 14) - \mathbf{j}(-12 \cdot (-12) - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(-12 \cdot 14 - 14 \cdot 0).$$ $$= \mathbf{i}(-168) - \mathbf{j}(144) + \mathbf{k}(-168),$$ $$= (-168, -144, -168).$$