Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что его большая ось равна 10, а расстояние между фокусами равно 8. Найти эксцентриситет, координаты фокусов и уравнения директрис получившегося эллипса.

Большая ось равна 10, значит \( 2a=10 \), откуда \( a=5 \).

Расстояние между фокусами равно 8, значит \( 2c=8 \), откуда \( c=4 \).

Так как фокусы лежат на оси ординат, большая ось эллипса направлена вдоль оси \( y \). Найдём \( b \):

\[ b^2=a^2-c^2=25-16=9 \]

Уравнение эллипса:

\[ \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1 \]

Эксцентриситет:

\[ e=\frac{c}{a}=\frac{4}{5} \]

Фокусы:

\[ F_1(0;-4),\quad F_2(0;4) \]

Директрисы для такого эллипса:

\[ y=\pm \frac{a^2}{c}=\pm \frac{25}{4} \]

0 0 Пожаловаться