Докажите, что если около ромба можно описать окружность, то этот ромбявляется квадратом

Докажем, что если около ромба можно описать окружность, то этот ромб является квадратом.

1. Свойства ромба и описанной окружности

Ромб — это четырехугольник, у которого все стороны равны. Чтобы около четырехугольника можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы противоположных сторон были равны: $a + c = b + d$. Для ромба это условие выполняется автоматически, так как все его стороны равны: $a = b = c = d$. Следовательно, ромб всегда удовлетворяет основному условию существования описанной окружности.

Однако теперь нужно понять, при каком дополнительном условии ромб будет иметь описанную окружность.

2. Свойство описанной окружности

Если у четырехугольника есть описанная окружность, то сумма углов, лежащих напротив друг друга, равна $180^\circ$. Это связано с тем, что дуги окружности между противоположными вершинами дополняют друг друга до полного круга.

Для ромба противоположные углы равны: $\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$. Следовательно, чтобы сумма противоположных углов равнялась $180^\circ$, каждый угол должен быть равен $90^\circ$.

3. Вывод

Если углы ромба $\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ$, то он становится квадратом, так как квадрат — это частный случай ромба, у которого все углы прямые.

4. Заключение

Таким образом, если около ромба можно описать окружность, то его противоположные углы дополняют друг друга до $180^\circ$, а это возможно только в случае, если все углы равны $90^\circ$. Следовательно, такой ромб является квадратом.