Углы A, B и C четырехугольника ABCD относятся 2:3:4.Найдите угол D, если около данного четырехугольника можно описать окружность

Задача связана с четырёхугольником, вокруг которого можно описать окружность. Это означает, что четырёхугольник является циркулем (или циркульным четырёхугольником), что, в свою очередь, накладывает определённые геометрические ограничения на его углы.

Для таких четырёхугольников существует важное свойство: сумма противоположных углов в циркульном четырёхугольнике всегда равна 180 градусам. То есть, если углы $A$, $B$, $C$ и $D$ четырехугольника ABCD противоположные, то выполняется следующее равенство:

и

Теперь, давайте применим это свойство к задаче.

Из условия задачи углы $A$, $B$ и $C$ относятся как 2:3:4. Это означает, что существует некоторая переменная $x$, такая что:

Так как сумма углов в любом четырёхугольнике всегда равна 360 градусам, то можем записать:

Подставим выражения для углов $A$, $B$ и $C$:

Это даёт:

Теперь воспользуемся свойством циркульного четырёхугольника. Углы $A$ и $C$ противоположные, поэтому:

Подставим значения для углов $A$ и $C$:

что даёт:

Теперь, зная $x$, можем найти значения углов:

Теперь подставим $x = 30^\circ$ в выражение для угла $D$:

получаем:

Таким образом, угол $D$ равен 90°.