1. Перпендикуляр, проведенный из вершины тупого угла ромба
делит его сторону пополам. Периметр ромба равен 36 см. Найдите углы и
меньшую диагональ ромба.

2. Докажите, что прямоугольник является квадратом, если две его соседние стороны образуют с диагональю равные углы.

Решение задачи 1:

Дано:

• Ромб, у которого перпендикуляр из вершины тупого угла делит сторону пополам.
• Периметр ромба равен 36 см.
• Нужно найти углы и меньшую диагональ ромба.

Шаг 1: Найдем сторону ромба.

Поскольку периметр ромба равен 36 см, а у ромба все стороны равны, длина одной стороны:

Шаг 2: Построим соотношения.

Пусть тупой угол ромба равен $\angle ABC = \alpha$, а острый угол $\angle BCD = 180^\circ - \alpha$. По условию, проведенный из вершины тупого угла перпендикуляр $BE$ делит сторону $CD$ пополам. Это значит, что треугольник $BEC$ является прямоугольным, и в нем:

Шаг 3: Используем свойства деления.

Так как $EC = \frac{CD}{2} = \frac{a}{2} = \frac{9}{2}$, то треугольник $BEC$ можно описать следующим образом:

Рассчитаем:

Приведем к общему знаменателю:

Следовательно:

Шаг 4: Найдем углы ромба.

Так как $\tan(\angle CBE) = \frac{BE}{EC}$, то:

Это соответствует углу $\angle CBE = 60^\circ$. Следовательно, тупой угол ромба:

а острый угол:

Шаг 5: Найдем меньшую диагональ.

Меньшая диагональ ромба $d_1$ делится перпендикуляром на два равных отрезка, каждый из которых равен $BE = \frac{9\sqrt{3}}{2}$. Тогда:

Ответ:

• Углы ромба: $60^\circ$ и $120^\circ$.
• Меньшая диагональ: $9\sqrt{3} \, \text{см}$.

Решение задачи 2:

Дано:

Прямоугольник, в котором две