В прямоугольном треугольнике биссектриса наименьшего угла пересекает катет под углом в 110 градусов. Найдите острые углы данного треугольника.

Давайте решим задачу шаг за шагом.

1. Разберем условие

В прямоугольном треугольнике один из углов равен $90^\circ$. Остальные два угла – острые, и их сумма равна $90^\circ$. В условии сказано, что биссектриса наименьшего угла пересекает катет под углом $110^\circ$.

2. Анализ углов

Обозначим:

• Треугольник $ABC$, где $\angle C = 90^\circ$, $\angle A$ – меньший острый угол, $\angle B$ – больший острый угол.
• Биссектрису угла $\angle A$, которая делит его пополам.

Если биссектриса пересекает катет $BC$ под углом $110^\circ$, это значит, что угол между биссектрисой и стороной $BC$ составляет $110^\circ$. Угол между биссектрисой и катетом $AB$ (в этом случае его продолжением) будет равен $70^\circ$ (так как $180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$).

3. Связь с биссектрисой

По свойству биссектрисы в треугольнике:

• Биссектриса делит угол пополам, то есть каждый из углов, на которые делится $\angle A$, будет равен $\frac{\angle A}{2}$.

Угол $110^\circ$ – это внешний угол к углу, который биссектриса делит пополам. А внешний угол равен сумме двух несмежных внутренних углов треугольника.

Следовательно:

4. Выразим острые углы

Мы знаем, что $\angle A + \angle B = 90^\circ$. Подставим $\angle B = 90^\circ - \angle A$ в первое уравнение:

Упростим:

Умножим на $-2$, чтобы избавиться от отрицательного знака:

Теперь найдем $\angle B$:

5. Ответ

Острые углы треугольника равны: