Дана правильная треугольная пирамида DABC с периметром основания 36 и боковым ребром 10. Найдите площадь боковой по верхности пирамиды .

Чтобы найти площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды DABC с заданными параметрами, давайте разберем задачу по шагам.

1. Определение параметров пирамиды:

   • Поскольку основание пирамиды — правильный треугольник, его периметр 36. Поскольку все стороны равны, каждая сторона основания будет равна 12 (36 / 3 = 12).
   • Боковое ребро пирамиды (DA, DB и DC) равно 10.

2. Нахождение высоты треугольника ABC: Для нахождения высоты правильного треугольника с длиной стороны 12 можно использовать формулу для высоты $h$ равностороннего треугольника:

   $$h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a,$$

   где $a$ — длина стороны. В нашем случае:

   $$h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 12 = 6\sqrt{3}.$$

3. Нахождение высоты боковой грани (треугольника DAB): Каждая боковая грань пирамиды — это равнобедренный треугольник (например, треугольник DAB), в котором одна из сторон равна боковому ребру (10), а основание — одна из сторон треугольника ABC (12). Чтобы найти высоту этого треугольника, нужно определить, каковы расстояния от вершины D до основания AB.

   Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения высоты $h_{DBA}$:

   $$h_{DBA}^2 + \left(\frac{AB}{2}\right)^2 = DA^2,$$

   где $AB$ — основание, равное 12, а $DA$ — боковое ребро, равное 10. Подставим значения:

   $$h_{DBA}^2 + \left(\frac{12}{2}\right)^2 = 10^2.$$

   Это преобразуется в:

   $$h_{DBA}^2 + 6^2 = 100 \quad \Rightarrow \quad h_{DBA}^2 + 36 = 100 \quad \Rightarrow \quad h_{DBA}^2 = 64 \quad \Rightarrow \quad h_{DBA} = 8.$$

4. Нахождение площади боковой поверхности: Площадь боковой поверхности состоит из трех равнобедренных треугольников (DAB, DAC и DBC). Площадь одного треугольника можно найти по формуле:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота.$$

   Подставим значения:

   $$S_{DAB} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48.$$

   Поскольку три боковых грани равны, общая площадь боковой поверхности будет:

   $$S_{бок.пов.} = 3 \cdot S_{DAB} = 3 \cdot 48 = 144.$$

Таким образом, площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды DABC составляет 144 квадратных единицы.