Объем треугольной пирамиды равен 30. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 7÷8, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.

Для решения задачи о нахождении большего объема одной из пирамид, на которые плоскость делит треугольную пирамиду, давайте пошагово разберемся, как можно найти этот объем.

Шаг 1: Описание пирамиды

Итак, у нас есть треугольная пирамида с объемом 30. Основание пирамиды — это треугольник, а вершина пирамиды обозначена как $V$. Плоскость проходит через одну из сторон основания пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, которая делит его в отношении 7:8, считая от вершины пирамиды.

Предположим, что боковое ребро, которое пересекает плоскость, — это ребро $VE$, где $V$ — вершина пирамиды, а $E$ — точка на ребре $VE$.

Шаг 2: Важные факты о подобии

Так как плоскость проходит через сторону основания, и точка пересечения делит боковое ребро в определенном отношении, пирамиды, образующиеся после пересечения, будут подобны исходной пирамиде. Это важное замечание, потому что объем пирамиды пропорционален кубу линейных размеров.

Шаг 3: Разделение бокового ребра

Плоскость пересекает ребро $VE$ в точке, которая делит это ребро в отношении 7:8. Это означает, что от вершины $V$ до точки пересечения плоскости — это 7 частей, а от этой точки до основания пирамиды (в точке $E$) — это 8 частей. Таким образом, точка делит ребро $VE$ в пропорции $7:8$.

Шаг 4: Подобие пирамид и вычисление объемов

Когда плоскость делит пирамиду, она образует две новые пирамиды. Обе эти пирамиды подобны исходной, и их объемы пропорциональны кубам линейных размеров. Пусть $k$ — коэффициент подобия, который равен отношению длины соответствующего ребра в меньшей пирамиде к длине соответствующего ребра в исходной пирамиде.

В нашем случае, точка на ребре делит его в отношении 7:8. Следовательно, коэффициент подобия меньшей пирамиды будет $k = \frac{7}{15}$, потому что полная длина ребра составляет $7 + 8 = 15$, а отрезок, который образует меньшую пирамиду, имеет длину 7. Таким образом, коэффициент подобия для меньшей пирамиды — это $\frac{7}{15}$.

Объем меньшей пирамиды будет пропорционален кубу этого коэффициента, то есть:

Теперь находим объем большей пирамиды. Площадь обеих пирамид в сумме должна быть равна объему исходной пирамиды, то есть 30. Объем большей пирамиды будет равен:

Ответ

Таким образом, больший объем пирамиды, на которую плоскость делит исходную пирамиду, составляет примерно 26.95.