Тангенс угла между плоскостью боковой грани пирамиды и плоскостью её основания равен 7,5. Найдите сторону основания пирамиды, если ее высота равна 30корень3. Пожалуйста, подробно и с чертежом.

Чтобы ответить на этот вопрос, давайте разберем задачу пошагово и приведем детальное объяснение.

Условие задачи:

1. Тангенс угла между плоскостью боковой грани пирамиды и плоскостью её основания равен $\tan \alpha = 7.5$.
2. Высота пирамиды $h = 30\sqrt{3}$.
3. Найти сторону основания пирамиды, предполагая, что основание – квадрат.

Пошаговое решение:

1. Основные параметры пирамиды

Пусть:

• Основание пирамиды – квадрат со стороной $a$.
• Высота пирамиды $h = 30\sqrt{3}$ опущена из вершины $S$ на центр квадрата $O$.
• Угол $\alpha$ — это угол между плоскостью боковой грани (например, $SBC$) и плоскостью основания.

Для квадрата диагональ основания равна $d = a\sqrt{2}$. Центр квадрата делит диагональ пополам, то есть расстояние от центра $O$ до вершины квадрата $C$ равно $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

2. Геометрическая интерпретация

Для вычисления тангенса угла $\alpha$, рассмотрим треугольник $SOC$, где:

• $SO = h$ — высота пирамиды,
• $OC = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ — расстояние от центра основания до вершины квадрата,
• $\tan \alpha = \frac{SO}{OC}$.

Итак:

Подставим значения:

3. Уравнение для стороны основания

Из формулы для тангенса получаем:

Перепишем уравнение:

Упростим выражение:

Умножим обе стороны на $a\sqrt{2}$:

Разделим обе стороны на $7.5$:

Упростим дробь:

Разделим обе стороны на $\sqrt{2}$:

Упростим дробь, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$: