Изобразите тетраэдр DABC и постройте его сечение плоскостью, проходящей через точки M и N, являющиеся серединами ребер DC и BC, и точку K, такую, что K принадлежит DA,а АK : KD = 1 : 3 Очень важно!

Давайте шаг за шагом разберем, как изобразить тетраэдр DABC и построить сечение плоскостью, которая проходит через три точки: M, N и K.

Шаг 1: Построение тетраэдра DABC

Тетраэдр DABC — это многогранник с четырьмя вершинами: D, A, B и C. Вершины можно расположить следующим образом:

• Поместите точку D в начале координат (0, 0, 0).
• Поставьте точку A на оси X, например, в точке (1, 0, 0).
• Точку B можно расположить в плоскости XY, но не на оси X, например, в точке (0, 1, 0).
• Точка C должна находиться в пространстве, не лежа на плоскости, образуемой точками A и B. Например, выберем точку C в (0, 0, 1).

Таким образом, у нас получается тетраэдр с вершинами в точках D(0, 0, 0), A(1, 0, 0), B(0, 1, 0) и C(0, 0, 1).

Шаг 2: Нахождение точек M и N

• Точка M — это середина ребра DC. Чтобы найти координаты точки M, нужно найти среднее значение координат точек D и C. Точки D и C имеют координаты D(0, 0, 0) и C(0, 0, 1), соответственно. Координаты середины отрезка между ними:

  $$M = \left( \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2} \right) = (0, 0, 0.5)$$

  То есть точка M — это (0, 0, 0.5).

• Точка N — это середина ребра BC. Точки B и C имеют координаты B(0, 1, 0) и C(0, 0, 1), соответственно. Координаты середины отрезка BC:

  $$N = \left( \frac{0+0}{2}, \frac{1+0}{2}, \frac{0+1}{2} \right) = (0, 0.5, 0.5)$$

  То есть точка N — это (0, 0.5, 0.5).

Шаг 3: Нахождение точки K

• Точка K — это точка, лежащая на отрезке DA, такая что отношение отрезков AK : KD = 1 : 3. Это означает, что точка K делит отрезок DA в пропорции 1:3. Точки D и A имеют координаты D(0, 0, 0) и A(1, 0, 0), соответственно. Для нахождения точки K используем формулу для деления отрезка в заданной пропорции. Координаты точки K можно вычислить по формуле:

  $$K = \left( \frac{3 \cdot 0 + 1 \cdot 1}{1+3}, \frac{3 \cdot 0 + 1 \cdot 0}{1+3}, \frac{3 \cdot 0 + 1 \cdot 0}{1+3} \right) = \left( \frac{1}{4}, 0, 0 \right)$$

  То есть точка K — это (0.25, 0, 0).

Шаг 4: Построение сечения плоскостью

Теперь, когда мы нашли координаты всех трех точек, через которые проходит сечение (M, N и K), можно построить плоскость, проходящую через эти точки.

1. Точки M(0, 0, 0.5), N(0, 0.5, 0.5) и K(0.25, 0, 0) задают уникальную плоскость в пространстве.

2. Чтобы найти уравнение этой плоскости, можно использовать метод нахождения уравнения плоскости через три точки. Сначала находим два вектора, лежащие в плоскости:

   • Вектор MN: $\overrightarrow{MN} = N - M = (0, 0.5, 0.5) - (0, 0, 0.5) = (0, 0.5, 0)$
   • Вектор MK: $\overrightarrow{MK} = K - M = (0.25, 0, 0) - (0, 0, 0.5) = (0.25, 0, -0.5)$

3. Теперь находим векторное произведение этих двух векторов, чтобы получить нормаль к плоскости:

   $$\overrightarrow{MN} \times \overrightarrow{MK} = \left| \begin{matrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 0.5 & 0 \\ 0.25 & 0 & -0.5 \end{matrix} \right| = \hat{i}(0.5 \cdot (-0.5) - 0 \cdot 0) - \hat{j}(0 \cdot (-0.5) - 0.25 \cdot 0) + \hat{k}(0 \cdot 0 - 0.25 \cdot 0.5)$$ $$= \hat{i}(-0.25) - \hat{j}(0) + \hat{k}(-0.125) = (-0.25, 0, -0.125)$$

   Это нормаль к плоскости. Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$, где $A, B, C$ — координаты нормали, то есть (-0.25, 0, -0.125). Подставляем координаты точки M(0, 0, 0.5) в уравнение плоскости, чтобы найти D:

   $$-0.25 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + (-0.125) \cdot 0.5 + D = 0$$ $$-0.0625 + D = 0$$ $$D = 0.0625$$

   Таким образом, уравнение плоскости:

   $$-0.25x - 0.125z + 0.0625 = 0$$

   Это уравнение плоскости, которая проходит через точки M, N и K.

Заключение

Мы построили тетраэдр DABC, нашли точки M, N и K, а затем построили сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через эти три точки. Уравнение плоскости, задающей сечение, имеет вид: