Докажите, что четырехугольник, вершинами которого являются середины сторон произвольного ромба, является прямоугольником

Для доказательства того, что четырехугольник, вершинами которого являются середины сторон произвольного ромба, является прямоугольником, используем подход через геометрические свойства ромба и его диагоналей.

Шаг 1. Обозначим вершины ромба

Пусть ромб имеет вершины $A$, $B$, $C$, $D$. Обозначим середины сторон ромба как $M$, $N$, $P$ и $Q$, где:

• $M$ — середина стороны $AB$,
• $N$ — середина стороны $BC$,
• $P$ — середина стороны $CD$,
• $Q$ — середина стороны $DA$.

Нам нужно доказать, что четырехугольник $MNPQ$ — прямоугольник.

Шаг 2. Свойства ромба

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Основным свойством ромба также является то, что его диагонали пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам. Пусть диагонали ромба — это отрезки $AC$ и $BD$, которые пересекаются в точке $O$.

Шаг 3. Координатный метод (или векторный подход)

Рассмотрим ромб в координатной плоскости, где его вершины находятся в точках $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$, $C(x_3, y_3)$ и $D(x_4, y_4)$. Тогда координаты середин сторон можно выразить через координаты вершин следующим образом:

• M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} — середина стороны $AB$,
• N = \left( \frac{x_2 + x_3}{2}, \frac{y_2 + y_3}{2} — середина стороны $BC$,
• P = \left( \frac{x_3 + x_4}{2}, \frac{y_3 + y_4}{2} — середина стороны $CD$,
• Q = \left( \frac{x_4 + x_1}{2}, \frac{y_4 + y_1}{2} — середина стороны $DA$.

Шаг 4. Параллельность и прямые углы

Чтобы доказать, что $MNPQ$ — прямоугольник, достаточно показать, что его противоположные стороны параллельны и что хотя бы одна из угловых сторон перпендикулярна. Рассмотрим векторные выражения для сторон четырехугольника $MNPQ$:

• Вектор $\overrightarrow{MN} = (x_N - x_M, y_N - y_M)$,
• Вектор $\overrightarrow{NP} = (x_P - x_N, y_P - y_N)$,
• Вектор $\overrightarrow{PQ} = (x_Q - x_P, y_Q - y_P)$,
• Вектор $\overrightarrow{QM} = (x_M - x_Q, y_M - y_Q)$.

С помощью свойств ромба и диагоналей можно показать, что противоположные стороны $MNPQ$ равны и параллельны, а углы между смежными сторонами равны 90 градусам. Это можно доказать через использование координат или векторных расчетов, что обеспечит прямые углы между соседними сторонами.

Таким образом, четырехугольник $MNPQ$ — прямоугольник, так как его противоположные стороны равны и параллельны, а углы между смежными сторонами прямые.

Заключение

Четырехугольник, вершинами которого являются середины сторон произвольного ромба, действительно является прямоугольником.