Докажите,что четырёхугольник с вершинами А(0;1),В(4;3),С(5;1) и D(1;-1) является прямоугольником

Чтобы доказать, что четырёхугольник с вершинами $A(0, 1)$, $B(4, 3)$, $C(5, 1)$, $D(1, -1)$ является прямоугольником, нужно проверить, что его углы равны 90 градусам. Это можно сделать, доказав, что соседние стороны перпендикулярны, то есть что скалярное произведение векторов, направленных вдоль этих сторон, равно нулю.

Шаг 1: Находим векторы сторон четырёхугольника

Рассмотрим векторы, которые определяют стороны четырёхугольника.

1. Вектор $\overrightarrow{AB}$ от точки $A(0, 1)$ до точки $B(4, 3)$:

   $$\overrightarrow{AB} = (4 - 0, 3 - 1) = (4, 2)$$

2. Вектор $\overrightarrow{BC}$ от точки $B(4, 3)$ до точки $C(5, 1)$:

   $$\overrightarrow{BC} = (5 - 4, 1 - 3) = (1, -2)$$

3. Вектор $\overrightarrow{CD}$ от точки $C(5, 1)$ до точки $D(1, -1)$:

   $$\overrightarrow{CD} = (1 - 5, -1 - 1) = (-4, -2)$$

4. Вектор $\overrightarrow{DA}$ от точки $D(1, -1)$ до точки $A(0, 1)$:

   $$\overrightarrow{DA} = (0 - 1, 1 - (-1)) = (-1, 2)$$

Шаг 2: Проверяем перпендикулярность соседних сторон

Чтобы стороны четырёхугольника были перпендикулярны, скалярное произведение соответствующих векторов должно быть равно нулю.

1. Проверим перпендикулярность векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BC}$:

   $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = (4 \cdot 1) + (2 \cdot (-2)) = 4 - 4 = 0$$

   Векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BC}$ перпендикулярны.

2. Проверим перпендикулярность векторов $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{CD}$:

   $$\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CD} = (1 \cdot (-4)) + (-2 \cdot (-2)) = -4 + 4 = 0$$

   Векторы $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{CD}$ перпендикулярны.

3. Проверим перпендикулярность векторов $\overrightarrow{CD}$ и $\overrightarrow{DA}$:

   $$\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{DA} = (-4 \cdot (-1)) + (-2 \cdot 2) = 4 - 4 = 0$$

   Векторы $\overrightarrow{CD}$